Βοηθήματα Μαθηματικών

[Siobaras]

Αρχικά, ακόμα δεν έχω φτάσει στην ερώτησή σου.
Δεδομένου ότι υπάρχουν σοβαρές πιθανότητες να μην μπορώ να σε βοηθήσω, κακώς βιάζεσαι να με ευχαριστήσεις! 
Επιπλέον, ασχολούμαι από δική μου λόξα και για δική μου ευχαρίστηση, άρα εγώ ευχαριστώ για την ευκαιρία!

Να σου πω τι είχα καταλάβει εγώ και να μου πεις πού έχω λάθος :
(1) Η συνολική δύναμη που ασκούμε σπάει σε F1 (κεντρομόλος) και F2 (επιτρόχιος)

(2) Το σώμα κινείται σε κύκλο σταθερής ακτίνας R, οπότε κάθε στιγμή ισχύει : U=ωR και αφού έχουμε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, θα έχουμε και σταθερή επιτρόχιο επιτάχυνση, άρα το F2 είναι σταθερό (σε μέτρο).

(3) Για την F1, κάθε χρονική στιγμή ισχύει : F1=m(U)^2/R

(4) Το κέντρο του κύκλου παραμένει σταθερό. Το σώμα μας βρίσκεται κάπου πάνω στον κύκλο. Η δύναμη εφαρμόζεται στο σώμα. Άρα d=R

(Μόλις σκέφτηκα ότι μπορεί να εννοείς ως d την απόσταση του κέντρου από το τέλος του διανύσματος της δύναμης)

[PDE ads]

[koleygr]

Αρχικά, ακόμα δεν έχω φτάσει στην ερώτησή σου.
Δεδομένου ότι υπάρχουν σοβαρές πιθανότητες να μην μπορώ να σε βοηθήσω, κακώς βιάζεσαι να με ευχαριστήσεις! 
Επιπλέον, ασχολούμαι από δική μου λόξα και για δική μου ευχαρίστηση, άρα εγώ ευχαριστώ για την ευκαιρία!

Να σου πω τι είχα καταλάβει εγώ και να μου πεις πού έχω λάθος :
(1) Η συνολική δύναμη που ασκούμε σπάει σε F1 (κεντρομόλος) και F2 (επιτρόχιος)

(2) Το σώμα κινείται σε κύκλο σταθερής ακτίνας R, οπότε κάθε στιγμή ισχύει : U=ωR και αφού έχουμε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, θα έχουμε και σταθερή επιτρόχιο επιτάχυνση, άρα το F2 είναι σταθερό (σε μέτρο).

(3) Για την F1, κάθε χρονική στιγμή ισχύει : F1=m(U)^2/R

(4) Το κέντρο του κύκλου παραμένει σταθερό. Το σώμα μας βρίσκεται κάπου πάνω στον κύκλο. Η δύναμη εφαρμόζεται στο σώμα. Άρα d=R

(Μόλις σκέφτηκα ότι μπορεί να εννοείς ως d την απόσταση του κέντρου από το τέλος του διανύσματος της δύναμης)

Δες εδώ τα μεγέθη:

(Θα είχε εικόνα εδώ αλλα δέν ξέρω πως μπαίνει... )


Η θ_1 αναφέρεται στην αρχικη θέση που έχω σχςδιάσει μόνο το F_2.

[Siobaras]

Το θ2 είναι η συνολική γωνία που έχει διαγράψει;

Γιατί βγάζω θ1+θ2 = 2κπ  και  εφθ1 = θ2  (αντί για 2θ2 που γράφεις;) ?

[Siobaras]

Νομίζω κατάλαβα το πρόβλημα (δεν είναι και λίγο, με -20 μονάδες IQ λόγω στρατού και άλλες -20 λόγω εργασίας σε Τράπεζα!)
Δυστυχώς, έχω ξυπνήσει από τις 6:00 και έχω αρχίσει να κουράζομαι...
Θα προσπαθήσω να ασχοληθώ σύντομα.

[PDE ads]

[koleygr]

Το θ2 είναι η συνολική γωνία που έχει διαγράψει;

Γιατί βγάζω θ1+θ2 = 2κπ  και  εφθ1 = θ2  (αντί για 2θ2 που γράφεις;) ?

θ₁=(1/2)α_γων t²
και
εφθ₂=F₁/F₂=(m*u^2/R)/mα   
(με α=α_γων*R και u=α*t=α_γων*R*t )
εφθ₂=m(α_γων*R*t)²/{m*α_γων*R²}=α_γων*t²
=>

θ₁=(1/2)εφθ₂

[koleygr]

Νομίζω κατάλαβα το πρόβλημα (δεν είναι και λίγο, με -20 μονάδες IQ λόγω στρατού και άλλες -20 λόγω εργασίας σε Τράπεζα!)
Δυστυχώς, έχω ξυπνήσει από τις 6:00 και έχω αρχίσει να κουράζομαι...
Θα προσπαθήσω να ασχοληθώ σύντομα.

Σ' ευχαριστώ πολύ

[Siobaras]

Το θ2 είναι η συνολική γωνία που έχει διαγράψει;

Γιατί βγάζω θ1+θ2 = 2κπ  και  εφθ1 = θ2  (αντί για 2θ2 που γράφεις;) ?

θ_1=(1/2)α_γων t^2
και
εφθ_2=F_1/F_2=(m*u^2/R)/mα   
(με α=α_γων*R και u=a*t=a_γων*R*t )
εφθ_2=m(a_γων*R*t)^2/{m*α_γων*R^2}=a_γων*t^2
=>

θ_1=(1/2)εφθ_2

Α! Ξέχασα το 1/2 στον τύπο του θ1! Ευχαριστώ!

(Διαισθητικά, πάντως, μου φαίνεται δύσκολο να μην αποκλίνει. Το F1 είναι ανάλογο του τετραγώνου του χρόνου, άρα απειρίζεται, το συνολικό F επίσης απειρίζεται και τείνει να γίνει ίσο με F1, άρα η θ1 θα τείνει προς το π/2. Πρακτικά η απόσταση της F από το κέντρο θα γίνει ίση με την απόσταση της F1 από το κέντρο, που διαρκώς μεγαλώνει. Άρα, αν και αρχικά το d μικραίνει, τελικά θα γίνει πολύ μεγαλύτερο του R. Όταν βρω χρόνο θα κάτσω να το ψάξω αναλυτικά.)

[koleygr]

Mάλλον πως δεν έχεις καταλάβει ποιό είναι το d.
Δές το εδώ (άν πιάσει ... )

http://www.mathcom.gr/index.php?action=dlattach;topic=2717.0;attach=726;image

Έπιασε 

Κατα τα άλλα τα λές καλά...

Αυτό που συγκλίνει είναι το R/d_N+1-R/d_N...
Όχι το d (Αυτό πάει στο μηδέν)

Ευχαριστώ

[----]

Αν κατάλαβα καλά σύμφωνα με το σχήμα θα ισχύει τελικά η σχέση:
εφ(π/2-θ₂)= 1/(2θ₁) απ' το πηλίκο των επιτρόχιας προς κεντρομόλου επιτάχυνσης α_κ=2α_ωR.θ₁ και α_ε=α_ω.R.
στο ερώτημα πότε θα είναι παράλληλη στην αρχική;   όταν θ₂, θ₁ συμπληρωματικές τότε
d=R.tan(π/2- θ₂)

[----]

στην περίπτωση να είναι παράλληλες οι δύο δυνάμεις, αυτό μπορεί να προκύψει μόνο σε μια θέση γιατί  η εξίσωση εφθ₁=1/(2θ₁) μπορεί να έχει μόνο μια λύση καθώς η μια αύξουσα συνάρτηση και η άλλη φθίνουσα και μόνο στην αρχή της κίνησης. σε καμιά άλλη περίπτωση δεν μπορεί να ισχύσει αφού είναι εφαπτόμενες επί του κύκλου..

[koleygr]

Αν κατάλαβα καλά σύμφωνα με το σχήμα θα ισχύει τελικά η σχέση:
εφ(π/2-θ₂)= 1/(2θ₁) απ' το πηλίκο των επιτρόχιας προς κεντρομόλου επιτάχυνσης α_κ=2α_ωR.θ₁ και α_ε=α_ω.R.
στο ερώτημα πότε θα είναι παράλληλη στην αρχική;   όταν θ₂, θ₁ συμπληρωματικές τότε
d=R.tan(π/2- θ₂)

Mάλλον πως μπερδευτηκες με το σχήμα μου.
Οι γωνίεςθ₁ και θ₂ θα είναι συμπληρωματικές όταν η δύναμη γίνεται κάθετη στην αρχική.
(από το επώμενό σου μήνυμα υποθέτω πως μπερδευτηκες και εννοούσες κάθετη)

Κατα τα άλλα,  η εξίσωση που μου δίνεις είναι μεν σωστή, αλλά είναι ισοδύναμη
με τη δική μου...
(θα ανεβάσω σε εικόνες τις εξισώσεις που χρησιμοποίησα
και τις ισοδύναμές τους για να φαίνεται καλύτερα.)

Το πρόβλημα απο φυσική είναι λυμένο:
Αν π.χ. είχα την αρχική δύναμη, τη μάζα και την ακτίνα,
θα μπορούσα να υπολογίσω όλα τα μεγέθη (θέση, ταχύτητα,επιτάχινση -σε μέτρο και κατεύθυνση-)
Ξέρωντας αυτά, οι γωνίες είναι γνωστές. (για τη θ₁ έχω αναλυτικό τύπο σε σχέση με το χρόνο, και
γνωρίζοντάς την βρίσκω ότι θέλω (d  ,  θ₂  ).....
Βρίσκω μια εξίσωση, ανεξάρτητη από χρόνους, μάζες, δυνάμεις... (Ακόμα και απο ακτίνες αφου στην ουσία
ψάχνω το x=R/d). Η λύση του προβλήματος αυτού, απο μεθηματική άποψη, είναι μια ιδιότητα του κύκλου. Γι αυτό εμφανίζεται και το 2π σαν όριο... Το θέμα είναι πια είναι η ιδιότητα αυτή του κύκλου (που παραβλέπω(-ουμε) προς το παρόν)...
(μια δυναμοσειρα του π που βγαίνει από γεωμετρία???)

Εννοώ, πως το πρόβλημα είναι να μη γνωρίζουμε το χρόνο (Που έτσι κι αλλιώς δεν παίζει ρόλο),
αλλά να βρούμε μια αναλυτική έκφραση για τις λύσεις των εξισώσεων που ήδη έχω βγάλει...
Στην εξίσωση που μου έδωσες, δε μπορώ να γνωρίζω το θ₂ για να τον βάλω στη σχέση
και να βρώ το d... Άρα θα πρέπει κι εσύ να τη μετασχηματίσεις και να καταλήξεις σε αυτές που έχω κι εγω...

στην περίπτωση να είναι παράλληλες οι δύο δυνάμεις, αυτό μπορεί να προκύψει μόνο σε μια θέση γιατί η εξίσωση εφθ₁=1/(2θ₁) μπορεί να έχει μόνο μια λύση καθώς η μια αύξουσα συνάρτηση και η άλλη φθίνουσα και μόνο στην αρχή της κίνησης. σε καμιά άλλη περίπτωση δεν μπορεί να ισχύσει αφού είναι εφαπτόμενες επί του κύκλου..

Εδώ κάνεις λάθος...
Μάλλον εννοείς οτι άυξουσα είναι η εφαπτομένη...
Η γωνία θ₁ όμως δεν ανήκει στο [0,π/2]... αυξάνεται επ αόριστον.
σου θυμίζω πως η συνθήκη μας σε αυτή την περίπτωση είναι:

θ_1+ θ_2=2kπ   

που μεταφράζεται σε:

εφ(sqrt{x^2-1}/2)+sqrt{x^2-1}] /[1-sqrt{x^2-1}*εφ(sqrt{x^2-1}/2)=0
- όπου x=R/d -     

Μάλιστα, επειδή όσο περνάει ο χρόνος το d μειώνεται, το x θα αυξάνεται με τέτοιο τρόπο
που πιστεύω πως είναι λάθος να μηδενίσουμε μόνο τον αριθμητή.
Υπάρχει πιθανότητα στις άπειρες λύσεις να μηδενίζεται το κλάσμα επειδή απειρίζεται ο παρανομαστής
(η εφθ₁)...

Σκέψου εξάλου και τη φυσική... πρίν περάσει το σώμα από τη διάμετρο που είναι παράλληλη στην αρχική δύναμη,
η δύναμη σχηματίζει αναγκαστικά τέταια γωνία που δε μπορεί να είναι παράλληλη... όταν όμως περμάει, το σίγουρο είναι οτι θα κάνει τον κύκλο και (για τον ίδιο λόγο που προανέφερα) παράλληλη (πριν ξαναγίνει κάθετη για να το κατεβάσει -οχι ακριβεις διατύπωση αλλά στέκει-)...

Σε κάθε περιστροφή του σώματος θα παίρνω δύο λύσεις για καθετοτητα και δύο για παραλληλία. Τα μαθηματικά μάλιστα δεν θα
μπορούν να τις ξεχωρίσουν!!!... Η φυσική, λέει πως θα είναι εναλλάξ.

Υ.Γ: ευχαριστώ ... Το σχήμα μου δεν είναι και τόσο καλό
και πιθανόν να σε μπέρδεψε αυτό. Θα προσπαθήσω να φτιάξω καλύτερο
και να γράψω αναλυτικά τις εξισώσεις που προκύπτουν. (Χωριστά αυτές που ισχύουν ανα πάσα στιγμή
και χωριστά τις συνθήκες παραλληλίας ή καθετότητας).

[Siobaras]

Δοκίμασα κάτι, αλλά το όριο μου βγαίνει 4π 
Είχα 1 ώρα μόνο και τώρα πρέπει να φύγω, αλλά θα το δω ξανά...

(το σχήμα βοήθησε - όντως άλλο είχα καταλάβει ως d)

[Siobaras]

Αν δεν μας νοιάζει η F να είναι ομόρροπη με την αρχική (δηλαδή δεχόμαστε 2 λύσεις σε κάθε περιστροφή του σώματος) τότε ισχύει θ1+θ2=κπ, και όχι 2κπ, σωστά;

Αν αυτό ισχύει, νομίζω ότι το απέδειξα.
Δυστυχώς πρέπει σε 20 λεπτά να βρίσκομαι εκεί όπου θα φτάσω σε 40 λεπτά, άρα ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ πρέπει να φύγω.
Θέλει αρκετή επεξήγηση η λύση μου και δεν προλαβαίνω...
Θα μπω αργά το βράδυ να την γράψω.

[koleygr]

Ναί...
Αυτό ετοιμαζόμουν να σου πώ κι εγώ...
Νόμίζα οτι το είχα αλλάξει ήδη στο αρχικό κείμενο...
Το αλλάζω τώρα!

Υ.Γ.1: Ανυπομονώ να δώ τη λύση!!
Υ.Γ.2.: Το σχήμα που σε βοήθησε είχε λάθος και μάλιστα στο d! To διόρθωσα τώρα.