PDE - Η κοινότητα των εκπαιδευτικών

Ας προσθέσω μια δυο σκέψεις για το επίμαχο θέμα της ειδικής διδακτικής.
Ό βαθμός μου ήταν 75 στην ειδική διδακτική, αλλά με όχι καλά οργανωμένο, αν και μάλλον πλήρες, σχέδιο μαθήματος. Γενικά στην εξέταση πόνταρα στο 2ο θέμα για τους πολλούς βαθμούς, το απάντησα και πρώτο. Σκιαγραφώ ό,τι θυμάμαι από αυτά που απάντησα.

Κατ' αρχήν, σίγουρα ο 1,23999..... δεν είναι μεγαλύτερος από τον 1,24. Αν οι δυο αριθμοί είναι άνισοι, τότε υπάρχει κάποιος ανάμεσά τους. (αυτό το ξέρουν, φαίνεται από τη στιχομυθία)

Ας προσπαθήσουμε να μεγαλώσουμε το 1,23999... ώστε να μείνει ο νέος αριθμός κάτω από το 1,24.

Για να το κάνουμε αυτό, θα πρέπει να προσθέσουμε κάτι πάρα πολύ μικρό. Τι είναι μια πάρα πολύ μικρή ποσότητα; Ένα 0,000.....01, με 1000, ή ένα εκατομμύριό, ή όσα θέλουμε, (αλλά συγκεκριμένο νούμερο!) μηδενικά πριν τη μονάδα.

Αν όμως προσθέσουμε, τότε όλα τα εννιάρια από εκεί και μπροστά γίνονται μηδενικά, και το 3 γίνεται 4 (έγραψα την πράξη της πρόσθεσης). Όμως τότε θα μείνει και μια ουρά από εννιάρια, από την "εκατομμυριοστή" συν ένα θέση και πίσω. Άρα είμαι πάνω από το 1,24! Και, ό,τι και να προσθέσω, όσο μικρό, πάντα θα ξεπερνάω το 1,24.
Άρα, τι γίνεται; Δύο ενδεχόμενα: Ή δεν υπάρχει αριθμός ανάμεσα σ' αυτούς τους δύο άνισους αριθμούς, ή είναι ίσοι.
Είναι δυνατό το πρώτο; Όχι: Αν έχω δυο άνισους αριθμούς σημειωμένους στην πραγματική ευθεία, και "κοιτάξω με μεγενθυντικό φακό ώστε να μπορώ να δω την απόστασή τους",τότε θα δω ότι έχω ένα ευθύγραμμο τμήμα ανάμεσά τους, δηλαδή άπειρους αριθμούς. πχ ένας τέτοιος είνα ο α+β/2.
Άρα δεν μένει παρά οι δύο αριθμοί να είναι ίσοι!
Για να το τσεκαρουν, τους ζήτησα να υπολογίσουν με τον τύπο του άπειρου αθροίσματος γπ ότι 0,9999....=1, και έγραψα τον υπολογισμό.
Σχόλιο: Άρα, η δεκαδική γραφή, δεν είναι πάντα μοναδική! Αφού βρήκαμε ότι το 1 έχει δύο δεκαδικές γραφές, το 0,999... και το 1.
Μπορείτε να μου πείτε πόσο κάνει 3,82999.... ?
Μπορείς να μου γράψεις αλλιώς το 2? (1,999....)