Απαντήσεις γνωστικού ΠΕ0401

[amalfi]

στα προηγουμενα εχουμε αποδειξει οτι και η (δ) ειναι εξισου καλη απαντηση.

υπαρχει καποια ενσταση στις αποδειξεις αυτες?

[PDE ads]

[vkaravol]

Προφανώς υπάρχει αφού δεν βγαίνει ακρότατο στη συνάρτηση. Για συγκεκριμενη σφαίρα που κινείται με συγκεκριμένη ταχύτητα και συγκρούεται με άλλη σφαίρα την μάζα της οποίας θέλω να υπολογίσω για να έχω μέγιστη μεταφορά κινητικής ενέργειας η μοναδική απάντηση είναι η γ.

Αυτο δίνουν τα αυστηρά μαθηματικά.

[amalfi]

ναι

[vkaravol]

Τι ναι; Υπάρχει και άλλος τρόπος να βρεις ακρότατο σε συνάρτηση που δίνει διαφορετικάαποτελέσματα από τον μηδενισμό της πρώτης παραγώγου;

[PDE ads]

[dimstella]

νομίζω συνάδελφε vkaravol, οτι δεν ψάχνουμε να βρούμε την m2 αλλά την m1. Αν αντιλήφθηκα καλώς (που βέβαια τα μαθηματικά δεν είναι και το ...φόρτε μου) θεώρησες ως μεταβλητή την m2. Μήπως αν θεωρήσουμε μεταβλητή την m1 (και να θεωρήσουμε δεδομένη την m2), καταλήξουμε σε άλλο αποτέλεσμα; (πχ στο δ;)

[vkaravol]

Η λύση είναι μια μαθηματική σχέση ισότητας. Αν για να μεγιστοποιηθεί η ενέργεια της δεύτερης πρέπει αυτή να είναι ίση με την μάζα της πρώτης τότε και η μάζα της πρώτης θα είναι ίση με τη μάζα της δεύτερης. Αν το δεις πάλι μαθηματικά όταν μεγιστοποιείς την κινητική ενέργεια της δεύτερης ελαχιστοποιείς της κινητική ενέργεια της πρώτης. Πάλι το ίδιο θεώρημα παίρνεις:

Τότε V_1= (m_1-m_2) v /(m_1+m_2)

K=m_1 (m_1-m_2)^2 v^2 /(2(m_1+m_2)^2)

Αυτό να ελαχιστοποιηθεί είναι εύκολο καθώς όλα είναι θετικά άρα το ελάχιστο είναι για m_1=m_2 που η κινητική ενέργεια του πρώτου σώματος μηδενίζεται.

Αν τώρα ξέραμε την m_2 και ψάχναμε την  m_1 η προφανής απάντηση θα είναι m_1 άπειρη γιατί τότε από τις κρούσεις ξέρουμε ότι η ταχύτητα του αρχικά ακίνητου σώματος μετά την κρούση είναι μέγιστη και ίση  με 2v και τελικά τότε το δεύτερο σώμα αποκτά μέγιστη κινητική ενέργεια.

       

[amalfi]

μεγιστη = η μεγαλυτερη απο τις τεσσερεις κινητικες ενεργειες (α,β,γ,δ)   --->  (γ) ή (δ)

μεγιστη = η μεγαλυτερη δυνατη  --->  (γ)



συνολικα ----->  (γ) ή (δ)


(εντυπωσιακο που δεν υποψιαζεται κανεις οτι κατι τρεχει μ αυτο το θεμα  - δεδομενου οτι τοσος κοσμος που ξερει κρουσεις (αλλα και "αυστηρα"  μαθηματικα) εβαλε το (δ) )

[amalfi]

και για το τελος μια απειλη:

αν συνεχιστει το "κακο" θα καλεσω στο φορουμ τους φιλους μου τους φιλολογους να αναλαβουν δραση

 

[vkaravol]

Μέγιστη είναι υπερθετικός βαθμός  και όχι συγκριτικός. Μέγιστη είναι η μεγαλύτερη δυνατή, δεν μπορεί να γίνει μεγαλύτερη, αλλιώς στα ελληνικά λέμε η μεγαλύτερη από τις 4.

[vkaravol]

Καλεσε τους. Να δούμε τι θα πούνε.

Όμως η φυσική δεν είναι θέατρο να λέμε έτσι είναι αν έτσι νομίζετε. 

[dimstella]

Ορίστε η λύση που με οδήγησε στο δ.

Μετά την κρούση, η αρχικά ακίνητη σφαίρα θα έχει ταχύτητα u2' = 2m1 u1 / (m1+m2)  (u1 η ταχύτητα της 1ης σ φαίρας πριν την κρούση, τύπος που γνωρίζουν και οι μαθητές Λυκείου δηλαδή).

Αρα η κινητική ενέργεια της 2ης (δηλαδή της αρχικά ακίνητης σφαίρας) θα είναι

Κ2' = 1/2 m2 u2'^2

Αντικαθιστούμε το u2' στο K2' οπότε προκύπτει η (μάλλον πολύπλοκη) παράσταση

K2' = 1/2 m2 (4m1^2/(m1+m2)^2) u1^2

Οταν την είδα (την ώρα της εξέτασης) σκέφτηκα "Καλά πολύ μλκες είναι αυτοί. Πως θα βρούμε πως μεγιστοποιείται ο όρος m2 (4m1^2/(m1+m2)^2) (θεώρησα σταθερή τη u1 δηλαδή). Οπότε με γρήγορες (όσο και αριστοτεχνικές-μπακαλικές) αντικαταστάσεις έλεγξα ΚΑΙ ΤΙΣ 4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ, κατέληξα στο δ, έκανα το σταυρό μου μη τυχών είχα κάνει λάθος στις πράξεις (διότι αν ελέγξεις τις 80 απαντήσεις χρειάζεται 6ωρη διάρκεια) και κύκλωσα το δ.

Αυτά

[constans]

H σωστή απάντηση στο πρωτο ερώτημα είναι το γ.

Απόδειξη:

V=2m_1 v_1 /(m_1+m_2)

K=m_2 V^2 /2 Για να βρώ τη μέγιστη ενέργεια παραγωγίζω ως προς m_2 Αρα

dK/dm_2=0   (παράγωγος πηλίκου για όσους δεν θυμούνται) [ 4m_1^2 v_1^2 (m_1+m_2)^2-2(m_1+m_2) m_2  4 m_1^2v^2]/2(m_1+m_2)^4=0

m_1+m_2 θετικά άρα    4m_1^2 v_1^2 (m_1+m_2)^2-2(m_1+m_2) m_2  4 m_1^2v^2=0 Τελικα

m_1+m_2 = 2 m_2  που οδηγεί στην m_1=m_2

Κι εγώ αυτό έκανα και μετά βρήκα και τη δεύτερη παράγωγο,έθεσα την ισότητα των μαζών και βγήκε αρνητική που σημαίνει μέγιστη τιμή...Τι να πω...

[amalfi]

η μεγιστη κινητικη ενεργεια "ειναι" απειρη λοιπον

και δε μπορει να συμβει για καμια αναλογια μαζων!

[amalfi]

μαλιστα ο μπαμπινιωτης ειναι συμφωνος με την ερμηνεια που εδωσα εγω  (λεει ο μεγαλυτερος [ενος συνολου])