Γρίφος...

[Siobaras]

Περίπου το 80% των συναδέλφων Μαθηματικών που γνωρίζω έχουμε μια τάση να αντιμετωπίζουμε με ενδιαφέρον προβλήματα - γρίφους.
Επειδή βλέπω ότι το φόρουμ μετά και την ανακοίνωση των διορισμών έχει χάσει τη ζωντάνια των προηγουμένων ημερών, αποφάσισα να ανοίξω ένα νέο και άσχετο θέμα.

Πιθανή διάρκεια ζωής του θέματος : dt

Αναμενόμενο πλήθος εμφανίσεων : 1 (του διαχειριστή που θα το διαγράψει)

Ακριβώς επειδή δε βλέπω να παραμένει για πολύ το θέμα, όσοι προλάβετε ακούστε τον καλύτερο από τους γρίφους που έχει πέσει στα χέρια μου:

      Ένας ετοιμοθάνατος πατέρας έχει 2 γιους. Επίσης έχει και έναν θησαυρό, τον οποίον έχει θάψει κάτω από μιά ελιά, σε έναν τετράγωνο ελαιώνα με διαστάσεις 100x100 δέντρα.
Προτού πεθάνει, δίνει στα παιδιά του τις εξής πληροφορίες:

1) Ο θησαυρός ΔΕΝ βρίσκεται στις πρώτες δύο γραμμές ή δύο στήλες.
2) Στο μεγάλο γιο δίνει έναν φάκελο με το ΓΙΝΟΜΕΝΟ των συντεταγμένων του δέντρου (π.χ. αν είναι το δέντρο 5 δεξιά, 7 κάτω, του δίνει το 35)
3) Στο μικρό γιο δίνει έναν φάκελο με το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των συντεταγμένων του δέντρου (στο προηγούμενο παράδειγμα θα έπαιρνε το 5+7=12)

Πεθαίνει ο γέρος, κηδεία κλπ, τα παιδιά επιστρέφουν σπίτι και πάει ο καθένας στο δωμάτιό του.
Μετά από λίγη ώρα, βγαίνει ο ΑΘΡΟΙΣΜΑΣ (=αυτός που ξέρει το άθροισμα) και πάει στο δωμάτιο του ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ. Τον βλέπει μέσα και του λέει :
"ΧΑ! Το ήξερα ότι θα είσαι ακόμα εδώ!!" και επιστρέφει στο δωμάτιό του.

Μετά από λίγο ξαναπάει και ο ΓΙΝΟΜΕΝΟΣ λείπει. Σκέφτεται :
"Πωωωω!! Τι βλακεία έκανα;;; Με αυτό που του είπα το βρήκε!! Αλλά τώρα το βρήκα κι εγώ!!"

ΚΑΙ ΤΩΡΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΟ ΒΡΟΥΜΕ ΚΙ ΕΜΕΙΣ!!!

(Εννοείται ότι αρκεί να βρούμε τα δύο νούμερα, π.χ. 5 και 7. Δε μας ενοχλεί να σκάψουμε 2 δέντρα, τα (5,7) και (7,5). Εναλλακτικά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο ελαιώνας είναι τριγωνικός, για να υπάρχει μοναδική λύση)

Δεν είναι ΑΠΙΣΤΕΥΤΑ ελάχιστα τα δεδομένα ώστε να προκύπτει  λύση και μάλιστα ΜΟΝΑΔΙΚΗ;;;

 

[PDE ads]

[ninap3]

όχι! κι αν διαβάσεις το βιβλίο του Γιάννη Καρβέλη, "περί υπεναντίας μεσότητος" θα το βρεις μέσα μαζί με άλλους πολύ ωραίους γρίφους από "τα αρχεία της λέσχης", όπως λέγεται το δεύτερο μέρος του βιβλίου. (εκδόσεις Γαβριηλίδης)

[JOY]

Ενδιαφέρον γρίφος! Δεν συμφωνεί απόλυτα βέβαια με το θέμα του forum, αλλά καλό είναι που σπάει και λίγο την μονοτονία!
Δεν τον έχω ξανασυναντήσει...
Θα γράψω κάποιες αρχικές ιδέες, να μου πείτε αν κινούμαι στην σωστη κατεύθυνση...

Αν το γινόμενο ήταν δύο πρώτων αριθμών, ο ΓΙΝΟΜΕΝΟΣ θα είχε βρεί κατευθείαν τους δύο πρώτους αριθμούς, δεδομένου οτι δεν βρίσκεται στις 2 πρώτες γραμμές ή στήλες. Για τον ίδιο λόγο κανένας απο τους αριθμούς δεν είναι 1 ή 2.

Για να το ξέρει ο ΑΘΡΟΙΣΜΑΣ οτι ο ΓΙΝΟΜΕΝΟΣ δεν το βρήκε σημαίνει οτι το άθροισμα είναι περιττός αριθμός, γιατί το άθροισμα πρώτων είναι άρτιος.

Αυτό φανέρωσε με την δηλωσή του ο ΑΘΡΟΙΣΜΑΣ στον ΓΙΝΟΜΕΝΟ και εκείνος το βρήκε.

[JOY]

Συνεχίζω λοιπόν....
Ο ΓΙΝΟΜΕΝΟΣ αντιλαμβάνεται λοιπόν οτι ο ένας είναι περιττός και ο άλλος άρτιος (για να έχουν άθροισμα περιττό).
Για να υπήρχε η δυνατότητα να ήταν και οι 2 άρτιοι σημαίνει οτι στην ανάλυση του γινομένου των δύο αριθμών σε πρώτους παράγοντες, υπάρχει το 2*2.

Επιπλέον σημαίνει οτι ο περιττός δεν είναι μεγαλύτερος του 50.
 
Ειμαι στην σωστή κατεύθυνση?

[PDE ads]

[JOY]

Μία πιθανή περίπτωση είναι στην ανάλυση σε πρώτους παράγοντες του γινομένου, να υπάρχει ένας μόνο περιττός αριθμός και όλοι οι άλλοι παράγοντες να είναι δυάρια.
Ας σκεφούμε λιγάκι αυτήν την περίπτωση.

Οι πρώτοι αριθμοί απο το 3 μέχρι το 100 είναι:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Ο κάθε ένας απο αυτούς προκύπτει απο τον προηγούμενο προσθέτοντας 2 ή 4 ή 6.

Αυτοί που είνια μεγαλύτεροι απο 50 απορρίπτονται, όπως είπαμε........

[Siobaras]

όχι! κι αν διαβάσεις το βιβλίο του Γιάννη Καρβέλη, "περί υπεναντίας μεσότητος" θα το βρεις μέσα μαζί με άλλους πολύ ωραίους γρίφους από "τα αρχεία της λέσχης", όπως λέγεται το δεύτερο μέρος του βιβλίου. (εκδόσεις Γαβριηλίδης)

Δεν το γνώριζα αυτό το βιβλίο, αλλά θα προσπαθήσω να το βρω, ευχαριστώ! Αν έχεις κάποιον παρόμοιο / καλύτερο γρίφο, παρακαλώ να μου τον μεταφέρεις, έστω και με ΠΜ.

JOY ή πρώτη σου παρατήρηση που απορρίπτει τα άρτια αθροίσματα είναι πολύ εύστοχη (και η δική μου λύση έτσι ξεκινάει).

Θα πρότεινα να συνεχίσεις εξετάζοντας τα αθροίσματα, μήπως βρεθεί κι άλλος κανόνας που να απορρίπτει μεγάλο πλήθος λύσεων.
Φυσικά ολ'αυτά με βάση τη δική μου λύση, μπορεί να βρεις διαφορετικό τρόπο.

[ninap3]

ένας πολύ ωραίος γρίφος που αποτελεί το "υπομόχλιο" της πλοκής είναι στο άλλο βιβλίο του Γ. Καρβέλη, "ο κρατούμενος μηδέν", πάλι εκδόσεις Γαβριηλίδη.
θα κάνω όμως ένα διάλειμμα λίγες μέρες, επειδή πάω στον τόπο διορισμού μου να δω τι και πως κι όταν επιστρέψω τα λέμε.
Εγώ προτιμώ τους γρίφους που συνδιάζονται με μαθηματική λογοτεχνία, από τα "ξερά" μαθηματικά, επειδή γίνονται κίνητρο -κυρίως για τους μαθητές- να ανοίγουν και κανένα βιβλίο
Να είσαι καλα

[mpoukali]

Καλησπέρα σε όλους!
Το πρόβλημα φαίνεται να είναι λιγάκι πιο περίπλοκο...

Έστω (χ,ψ) οι συντεταγμένες του θησαυρού.
Έστω Γ=χψ και Α=χ+ψ το γινόμενο και το άθροισμα αντίστοιχα.

Για απλοποίηση των εκφράσεων είναι απαραίτητοι δύο ορισμοί

Ορισμός 1
Ένα γινόμενο Γ θα ονομάζεται ευνοϊκό αν οδηγεί απευθείας στη λύση (χ,ψ). Τότε και το αντίστοιχο άθροισμα χ+ψ θα ονομάζεται ευνοϊκό

Πχ αν Γ=21 είναι προφανές ότι (χ,ψ)=(3,7). Χαρακτηρίζουμε "ευνοϊκό" το άθροισμα 3+7=10 επειδή αποτελεί μία ΑΝΑΓΚΑΙΑ συνθήκη ώστε το αντίστοιχο γινόμενο να είναι ευνοϊκό

Μπορούμε τόρα να δούμε ότι το άθροισμα Α του προβλήματος δεν είναι ευνοϊκό. Αν ο Άθροισμας είχε ένα ευνοϊκό Α, πχ το 10, δε θα ήταν σίγουρος αν ο Γινόμενος μπορεί να βρει τη λύση ή όχι (θα μπορούσε να ήταν Γ=24 που δεν οδηγεί απευθείας στη λύση). Εφόσον ο Άθροισμας ξέρει ότι ο Γινόμενος δεν μπορεί να βρει τη λύση, ξέρουμε ότι το Α είναι μη-ευνοϊκό

Αρχικά ο Γινόμενος καταστρώνει έναν πίνακα με τα πιθανά αθροίσματα και ο Άθροισμας έναν πίνακα με τα πιθανά γινόμενα. Μόλις ο Άθροισμας πληροφορεί το Γινόμενο ότι το Α δεν είναι ευνοϊκό, εκείνος βρίσκει αμέσως τη λύση (αμέσως.. μια κουβέντα είναι)

Ορισμός 2
Ένα γινόμενο Γ θα ονομάζεται τυχερό αν η λύση βρίσκεται στο δεύτερο στάδιο. Δηλαδή η πληροφορία ότι το αντίστοιχο άθροισμα Α είναι μη-ευνοϊκό είναι αρκετή ώστε να βρεθεί η λύση.

Στην ουσία, ο Γινόμενος είναι "τυχερός" επειδή του αρκούσε η πληροφορία αυτή

Ας δούμε όμως δύο παραδείγματα

Έστω Α=10.
Τα πιθανά ζεύγη είναι (3,7), (4,6), (5,5) και τα αντίστοιχα πιθανά γινόμενα 21, 24 και 25
Αφού 21=3*7, η μοναδική λύση είναι η (3,7), άρα το γινόμενο 21 είναι ευνοϊκό
Αφού 25=5*5, η μοναδική λύση είναι η (5,5), άρα το γινόμενο 25 είναι ευνοϊκό
Αλλά 24=2*2*2*3 και έχουμε πιθανές λύσεις τις (3,8) και (4,6), άρα το γινόμενο 24 δεν είναι ευνοϊκό
Και αφού το άθροισμα Α=10 οδηγεί τουλάχιστον σε ένα ευνοϊκό γινόμενο, είναι κι αυτό (σαν άθροισμα) ευνοϊκό

Έστω Α=13.
Πιθανά ζεύγη: (3,10), (4,9), (5,8), (6,7)
Αντίστοιχα γινόμενα: 30, 36, 40, 42
Κανένα από τα πιθανά γινόμενα δεν είναι ευνοϊκό. Πράγματι
30 = 3*10 = 5*6
36 = 3*12 = 4*9 = 6*6
40 = 4*10 = 5*8
42 = 3*14 = 6*7
Έτσι, και το 13 χαρακτηρίζεται ως μη-ευνοϊκό άθροισμα
Θα μπορούσε όμως το Α=13 να είναι λύση στο πρόβλημα;
Ξέρουμε ότι το Γ εκτός από μη-ευνοϊκό είναι και τυχερό. Θα πρέπει λοιπόν να εξετάσουμε αν κάποιο από τα γινόμενα 30,36,40,42 είναι "τυχερό"

Όπως είπαμε, ο Γινόμενος έχει καταγράψει όλα τα πιθανά αθροίσματα σε έναν πίνακα. Μόλις πληροφορείται ότι το Α δεν είναι ευνοϊκό, διαγράφει όλα τα ευνοϊκά αθροίσματα. Το γεγονός ότι το Γ είναι "τυχερό" σημαίνει ότι, μετά τη διαγραφή μένει ακριβώς ένα άθροισμα. Ο Άθροισμας στη συνέχεια, μόλις βλέπει ότι ο Γινόμενος βρήκε τη λύση, κοιτάζει στον πίνακά του. Εφόσον βρίσκει κι αυτός τη λύση, ξέρουμε ότι στα πιθανά γινόμενα βρήκε μόνο ένα τυχερό.

Θα πρέπει να βρούμε λοιπόν:
- Όλα τα μη-ευνοϊκά αθροίσματα
- Για καθένα από αυτά, όλα τα αντίστοιχα τυχερά γινόμενα
- Και τέλος να εντοπίσουμε τα αθροίσματα έχουν ΜΟΝΟ ΕΝΑ αντίστοιχο τυχερό γινόμενο

Χρειάστηκε να ελέγξω όλες τις περιπτώσεις και αυτό είναι που κάνει το πρόβλημα δύσκολο
Έχω δουλέψει στο Excel και το περίεργο είναι ότι βρήκα αρκετές λύσεις:

(4,25)
(46,49)
(38,71)
(29,86)
(22,97)
(59,74)
(62,89)
(74,89)
(83,86)
(79,94)
(86,89)
(82,97)
(94,97)

Πχ το άθροισμα 4+25 = 29 έχει πιθανά αντίστοιχα γινόμενα τα 78,100,120,138,154,168,180,190,198,204,208,210, όλα ευνοϊκά
Από αυτά, μόνο το 100 είναι τυχερό γινόμενο. Έτσι μόλις ο Άθροισμας βλέπει ότι ο Γινόμενος έχει φύγει, καταλαβαίνει ότι είναι Γ=100

Ίσως να έχω κάνει κάποιο λάθος, αφού θα έπρεπε η λύση να είναι μοναδική.

[mpoukali]

Ας δούμε τώρα ποια μορφή θα έχει ένα ευνοϊκό γινόμενο και, κατ' επέκταση, ένα ευνοϊκό άθροισμα

1) Όπως έγραψε και η JOY, μία περίπτωση είναι Γ=pq, όπου p<=q περιττοί πρώτοι μικρότεροι του 100. Τότε η λύση θα είναι (p,q) και το αντίστοιχο άθροισμα p+q.

2) αν Γ=p^3 (όπου p περιττός πρώτος) έχουμε μοναδική λύση την (p,p^2) με αντίστοιχο άθροισμα p(p+1)

Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις ο Γ είναι περιττός και είναι οι μοναδικές περιπτώσεις ευνοϊκού περιττού γινομένου.
Πράγματι, αν Γ=pqr όπου p,q περιττοί πρώτοι και r>1 περιττός, τότε έχουμε πιθανά ζεύγη τα
(pq,r), (qr,p), (rp,q)
Η μοναδική περίπτωση στην οποία το Γ θα ήταν ευνοϊκό θα ήταν αν p=q=r. Διαφορετικά δεν μπορούμε να αποφασίσουμε ποια από τις τρεις είναι η λύση
Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει αν ο Γ είναι άρτιος

Έστω λοιπόν Γ=2λ, όπου ο λ δεν είναι δύναμη του 2
Ο λ δεν μπορεί να είναι πρώτος, αφού τότε προκύπτει αναγκαστικά x=2, που απορρίπτεται
Έστω p ένας περιττός πρώτος διαιρέτης του λ, δηλαδή λ=pα για κάποιο α.
Τότε θα είναι Γ=2pα
Αν α≠2 και α≠p, τότε προκύπτουν οι λύσεις (2p,α) και (p,2α), επομένως ο Γινόμενος δεν μπορεί να βρει την απάντηση (δηλαδή το γινόμενο δεν είναι ευνοϊκό)

3) Αν α=p, τότε Γ=2p^2 και η λύση είναι μοναδική (p,2p) με αντίστοιχο άθροισμα 3p
4) Αν α=2, τότε Γ=2^2p και η λύση είναι η (4,p) με αντίστοιχο άθροισμα p+4

Τέλος έστω ότι ο Γ είναι δύναμη του 2, πχ Γ=2^κ. Τότε θα είναι x=2^α και y=2^β, με 2<=α<=β και α+β=κ
Με δοκιμές βρίσκουμε ότι για να υπάρχει μοναδική λυση, το κ πρέπει να είναι 4,5,11 ή 12 με αντίστοιχες τιμές του Γ = 16, 32, 2048, 4096

κ=4 => Γ=16 => (x,y) = (4,4) => Α=8
κ=5 => Γ=32 => (x,y) = (4,8) => Α=12
κ=11 => Γ=2048 => (x,y) = (32,64) => Α=96
κ=12 => Γ=4096 => (x,y) = (64,64) => Α=128
Έχουμε λοιπόν:
Τα ευνοϊκά γινόμενα και τα αντίστοιχα ευνοϊκά αθροίσματα είναι:
Γ=pq => άθροισμα p+q
Γ=p^3 => άθροισμα p(p+1)
Γ=2p^2 => άθροισμα 3p
Γ=4p => άθροισμα p+4
Γ=16 => άθροισμα 8
Γ=32 => άθροισμα 12
Γ=2048 => άθροισμα 96
Γ=4096 => άθροισμα 128

* Στα παραπάνω, οι p,q είναι περιττοί πρώτοι
* Παρατηρούμε ότι υπάρχει περίπτωση το άθροισμα να είναι περιττός, παρόλο που ο Γινόμενος βρίσκει απευθείας τη λύση
Αν θέλουμε να βρούμε όλα τα μη-ευνοϊκά αθροίσματα πρέπει από το σύνολο {6,7,...,200} να αποκλείσουμε όλα τα p+q, p(p+1) κλπ
Τα αθροίσματα 8,12,96,128 έτσι κι αλλιώς συμπεριλαμβάνονται στις άλλες κατηγορίες, αφού πχ
8 = 3+5, 12 = 5+7, 96 = 7+89, 128 = 19+109

Προκύπτει έτσι η ακολουθία
13, 19, 25, 29, 31, 37, 43, 49, 53, 55, 59, 61, 67, 73, 79, 81, 85, 89, 91, 95, 97, 99, 103, 109, 115, 119, 121, 125, 127, 133, 137, 139, 145, 147, 149, 151, 157, 163, 165, 169, 173, 175, 179, 181, 187, 189, 191, 193, 199

η οποία δε φαίνεται να έχει κάποιο γενικό ή αναδρομικό τύπο
Το μόνο που μπορώ να παρατηρήσω είναι ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής 6m+1 για m=2,3,...,33 συμπεριλαμβάνονται σ'αυτή

[Siobaras]

Εντυπωσιάζομαι που υπάρχουν και άλλοι το ίδιο άρρωστοι με μένα με τέτοιου είδους προβλήματα.

Επίσης είναι εντυπωσιακή η ανάλυση που έχεις κάνει.

Μια παρατήρηση που μπορώ να κάνω για το πρώτο σου μήνυμα είναι ότι γενικά δε μπορεί να είναι λύση ένα ζεύγος (α,β) με α,β>=50, ακόμα και αν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Π.χ. για το ζεύγος (59,74) ο Γινόμενος θα είχε το νούμερο 59*74 που δε μπορεί να έχει προέλθει από άλλο γινόμενο εντός του περιορισμού 100x100.
Άρα θα το έβρισκε αμέσως.

Επίσης, ήδη από την παρατήρηση της JOY έχουμε απορρίψει όλα τα άρτια αθροίσματα, αφού κάθε άρτιος γράφεται σαν άθροισμα περιττών, οπότε ο Γινόμενος μπορεί και να ήταν σε θέση να το βρει αμέσως.

Έχουν μείνει τα περιττά αθροίσματα, όπου ένας τουλάχιστον από τους δύο αριθμούς είναι κάτω του 50, δηλαδή περιττά αθροίσματα μέχρι 149.

Ο 3ος περιορισμός που έβαλα εγώ για να απορρίψω μαζικά πολλά ζευγάρια είναι ο ακόλουθος (ΜΗ διαβάσεις παρακάτω αν δε θες βοήθεια):
Αποκλείεται το άθροισμα να είναι της μορφής 4+p, όπου p : πρώτος. Π.χ. το άθροισμα 51 θα είναι ευνοϊκό με τον ορισμό σου, αφού αν είναι τυχερός ο Γινόμενος μπορεί να έχει το 4*47 = 188 που γράφεται ΜΟΝΟ έτσι εντός των περιορισμών του οικοπέδου. Άρα το άθροισμα 51 αποκλείεται...

Και εγώ κάποιο τέτοιο ψάξιμο έκανα, αλλά αφού είχα περιοριστεί σε σχετικά μικρό αριθμό αθροισμάτων...

[mpoukali]

Εντυπωσιάζομαι που υπάρχουν και άλλοι το ίδιο άρρωστοι με μένα με τέτοιου είδους προβλήματα.

Άρρωστος δε λες τίποτα ... 

Μια παρατήρηση που μπορώ να κάνω για το πρώτο σου μήνυμα είναι ότι γενικά δε μπορεί να είναι λύση ένα ζεύγος (α,β) με α,β>=50, ακόμα και αν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Π.χ. για το ζεύγος (59,74) ο Γινόμενος θα είχε το νούμερο 59*74 που δε μπορεί να έχει προέλθει από άλλο γινόμενο εντός του περιορισμού 100x100.
Άρα θα το έβρισκε αμέσως.

Έχεις δίκιο! Δεν το πρόσεξα αυτό 

Ο 3ος περιορισμός που έβαλα εγώ για να απορρίψω μαζικά πολλά ζευγάρια είναι ο ακόλουθος:
Αποκλείεται το άθροισμα να είναι της μορφής 4+p, όπου p : πρώτος. Π.χ. το άθροισμα 51 θα είναι ευνοϊκό με τον ορισμό σου, αφού αν είναι τυχερός ο Γινόμενος μπορεί να έχει το 4*47 = 188 που γράφεται ΜΟΝΟ έτσι εντός των περιορισμών του οικοπέδου. Άρα το άθροισμα 51 αποκλείεται...

Δεν ξέρω αν διάβασες και το δεύτερο μήνυμά μου
Έχω γράψει για την περίπτωση Α=4+p
Αυτή η περίπτωση και το Α=3p αποτελούν παραδείγματα περιττών αθροισμάτων στα οποία ο Γινόμενος βρίσκει απευθείας τη λύση
Συνοψίζοντας λοιπόν (και διορθώνοντας) αν δε συμπεριλάβουμε τα (α,β) με α,β>=50 μένουν τα πιθανά ζεύγη
(4,25)
(46,49)
(38,71)
(29,86)
(22,97)

Το (22,97) απορρίπτεται, αφού θα δώσει γινόμενο 2*11*97 και δε θα μπορούσε να γραφτεί (11,194)
Το (38,71) ομοίως γράφεται 2*19*71

Για τα υπόλοιπα δεν μπορώ να βρω κάτι
EDIT:
Τώρα που το ξανακοιτάω, δεν ισχύει πάντα το

γενικά δε μπορεί να είναι λύση ένα ζεύγος (α,β) με α,β>=50, ακόμα και αν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Πχ τα ζεύγη (81,70) και (63,90) δίνουν γινόμενο 5670
Και πάλι δε θα μπορεί ο Γινόμενος να βρει τη λύση απευθείας

[Siobaras]

Τώρα που το ξανακοιτάω, δεν ισχύει πάντα το

γενικά δε μπορεί να είναι λύση ένα ζεύγος (α,β) με α,β>=50, ακόμα και αν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Πχ τα ζεύγη (81,70) και (63,90) δίνουν γινόμενο 5670
Και πάλι δε θα μπορεί ο Γινόμενος να βρει τη λύση απευθείας

Νομίζω ότι ισχύει πάντα, γιατί ο άθροισμας δε θα μπορεί να ξέρει αν ο γινόμενος μπορεί να το βρει ή όχι.
Π.χ. αν το ζευγάρι είναι το (81,70), ο άθροισμας θα έχει 151. Αν οι αριθμοί ήταν οι 97 (πρώτος) και 54, τότε ο γινόμενος θα το έβρισκε.

Με την ίδια μέθοδο μπορούμε να απορρίψουμε και κάποια αθροίσματα κάτω από 100, ή ζευγάρια χωρίς να ισχύει α,β>=50.
Π.χ. για τα ζευγάρια (29,86) και (46,49) μπορούμε να πούμε το εξής:

29+86 = 115 = 97+18 (οπότε θα το έβρισκε ο Γινόμενος)

46+49 = 95. Όμως (για παράδειγμα), 95 = 71 (πρώτος) + 14 και το γινόμενο 71*14=994 προκύπτει μόνο από αυτό το ζευγάρι.

Μέχρι στιγμής έχουμε χρησιμοποιήσει ότι ο Γινόμενος δε μπορεί να το βρει και ότι ο Άθροισμας ΞΕΡΕΙ ότι δε μπορεί να το βρει.
Για να απορρίψεις το (4,25) πρέπει να χρησιμοποιήσεις και τα υπόλοιπα δεδομένα...

(Δυστυχώς δεν είναι αυτό το ζευγάρι η λύση, αλλά είσαι πολύ κοντά...)

[mpoukali]

Τι είμαι πολύ κοντά, μου τα απέρριψες όλα τα ζευγάρια

Λοιπόν, από τη λίστα των δυνατών αθροισμάτων που έχω γράψει παραπάνω, απέρριψα όλα εκείνα που μπορούν να γραφτούν στη μορφή p+a όπου p πρώτος μεγαλύτερος του 50

Πχ το 59 μπορεί να γραφτεί σαν 53+6. Έτσι αν το γινόμενο είναι 53*6, καταλαβαίνουμε ότι δεν μπορούσε το ζεύγος να είναι 106*3

Έτσι τώρα έχω μόνο τα αθροίσματα 13, 19, 25, 29, 31, 37, 43, 49, 53, 55

Λοιπόν, είχα κάνει ένα λάθος στο Excel. Το έβαλα να μου διαγράφει τα πιθανά αθροίσματα αντί για τα μη πιθανά (ε ρε, αν δεν είχα κάνει αυτό το λάθος θα έβγαζε απ την αρχή μοναδική λύση )

Τώρα βρίσκω σαν μόνη λύση το ζευγάρι (13,16) με άθροισμα 29
Το 29 έχει αντίστοιχα πιθανά γινόμενα τα 78,100,120,138,154,168,180,190,198,204,208,210

Ο Γινόμενος ξέρει το 208 και βρίσκει τα αντίστοιχα αθροίσματα 56,34,29
Από αυτά μόνο το 29 συπεριλαμβάνεται στην παραπάνω λίστα των δυνατών αθροισμάτων
Μόλις μαθαίνει ότι ο Άθροισμας ήξερε, καταλαβαίνει ότι δεν μπορεί το άθροισμα να είναι 56 ή 34

Αν το γινόμενο ήταν οποιοδήποτε άλλο από τα παραπάνω, ο Γινόμενος δε θα μπορούσε ακόμη και σε 2ο στάδιο να βρει τη λύση (δηλ δεν είναι τα γινόμενα "τυχερά")
 
Πχ το γινόμενο 100 έχει αντίστοιχα αθροίσματα τα 29,25,20
Αν πεις στο Γινόμενο "το ήξερα ότι δε θα το βρεις" αυτός θα σκεφτεί ότι έχεις ή το 29 ή το 25 και δε θα μπορεί να αποφασίσει

Φυσικά καθοριστικό ρόλο παίζει ότι στο τέλος και ο Άθροισμας βρίσκει τη λύση. Δε θα μπορούσε να τη βρει αν το άθροισμα ήταν ένα από τα υπόλοιπα. Γι αυτό και επιλέχθηκε το 29

Και πάλι δεν είμαι σίγουρος (ποτέ δεν μπορείς να είσαι μ'αυτούς τους ΗΥ) αν έχω λάθος
Και φυσικά, χωρίς τη βοήθεια του υπολογιστή δε θα μπορούσα να ελέγξω όλες εκείνες τις περιπτώσεις. Τα 10 δυνατά αθροίσματα που έχω χρησιμοποιήσει έχουν 986 αντίστοιχα γινόμενα.

Ήλπιζα πάντως ότι θα υπήρχε αναλυτικός τρόπος λύσης

[Siobaras]

Συγχαρητήρια!!!