Μαθηματικά Γ' Λυκείου Γενικής Παιδείας

[killbill]

Και εγώ έτσι το έλυσα.
Το χωρίζεις σε 2 ολοκληρώματα. Το δεύτερο βγαίνει 0  (με την αντικατάσταση που περιγράφεις)  ενώ το πρώτο είναι ακόμα πιο απλό.   
Γιατί δεν σου αρέσει το ολοκλήρωμα αυτό ?

Δεν μαρέσει! Ουσιαστικά η άσκηση είναι να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα του 2χ^2. Κάτι τρέχει στα γύφτικα δηλαδή. Δεν έχει λίγο δράση εκτός αν επιλέξεις να το λύσεις κατά παράγοντες (όπως οι λύσεις που δημοσιεύτηκαν στο internet) οπότε τότε εντάξει έχει κάποια σοβαρότητα το θέμα

[PDE ads]

[JEKIN]

ΣΤΟ ΘΕΜΑ 3Ο ΤΟ Γ4 ΑΝ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΗΣΕΙΣ ΤΟ  Χ^2 +1 ΔΙΝΕΙ ΛΥΣΗ ΜΗΔΕΝ ΕΝΩ ΑΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΕΙΣ ΠΡςΤΑ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΑΙΧΕΙΑ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΟΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΜΕΝΕΙ ΤΟ Χ^2 +1 ΔΙΝΕΙ ΛΥΣΗ 4/3 [ΤΙ ΕΧΕΤΕ ΝΑ ΠΕΙΤΕ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ? ΜΗΠΩΣ ΤΟ ΕΡςΤΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΑΛΑΤΟΜΑΤΙΚΟ ΜΗΠΩΣ ΤΕΛΙΚΑ ΘΑ ΞΑΝΑ ΧΑΡΙΣΤΟΥΝ

[fyskoz68]

Το Γ4 μάλλον γελοίο είναι αφού:

Το Γ4 λύνεται σε μισή γραμμή ως εξής: Στο ολοκλήρωμα από -1 έως 1 του  xln(x^2+1) αν θέσουμε u=x^2+1 τότε τα άκρα ολοκληρωσης γίνονται από 2 έως 2 άρα =0 και ΤΕΛΟΣ!

Και εγώ έτσι το έλυσα.
Το χωρίζεις σε 2 ολοκληρώματα. Το δεύτερο βγαίνει 0  (με την αντικατάσταση που περιγράφεις)  ενώ το πρώτο είναι ακόμα πιο απλό.   
Γιατί δεν σου αρέσει το ολοκλήρωμα αυτό ?
Μοιάζει με τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου και εξετάζει τον μαθητή στις μεθόδους υπολογισμού ολοκληρωμάτων που έχει διδαχθεί .

  Αν και είμαι φυσικός ας μου επιτρέψουν οι συνάδελφοι μαθηματικοί μια παρατήρηση:
 Στο ολοκλήρωμα από -1 έως 1 του  ln(x^2+1) αν θέσουμε u=x^2+1 τότε τα άκρα ολοκληρωσης γίνονται από 2 έως 2 άρα =0, αδύνατο αφού στο [-1,1] είναι ln(x^2+1)>0 και μόνο για χ=0 είναι ln(x^2+1)=0. Νομίζω ότι η παράσταση που θέτουμε ως u πρέπει να είναι 1-1, κάτι που δεν αναφέρεται στο βιβλίο κατεύθυνσης. Προφανώς η u=x^2+1 δεν είναι 1-1.

[achilles]

 Η υπο ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η xln(x^2+1) η οποία παίρνει και αρνητικές και θετικές τιμές στο [-1,1].

[PDE ads]

[knkn]

Η υπο ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η xln(x^2+1) η οποία παίρνει και αρνητικές και θετικές τιμές στο [-1,1].

 είναι και περιττή σε συμμετρικό διάστημα ... 

[fyskoz68]

Η υπο ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η xln(x^2+1) η οποία παίρνει και αρνητικές και θετικές τιμές στο [-1,1].

 είναι και περιττή σε συμμετρικό διάστημα ... 

   Εγώ παραθέτω τη συγκεκριμένη συνάρτηση (από την οποία απουσιάζει ο παράγοντας x ) για να δείξω ότι το να θέτεις u=x^2+1 είναι λάθος. Η συνάρτηση που χρησιμοποίησα ως παράδειγμα είναι προφανώς άρτια, σωστά στο ζήτημα των εξετάσεων είναι περιττή και όντως βγαίνει 0 το ολοκλήρωμα, όμως στο παράδειγμά μου αποκλείεται να είναι 0.

[Siobaras]

ΣΤΟ ΘΕΜΑ 3Ο ΤΟ Γ4 ΑΝ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΗΣΕΙΣ ΤΟ  Χ^2 +1 ΔΙΝΕΙ ΛΥΣΗ ΜΗΔΕΝ ΕΝΩ ΑΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΕΙΣ ΠΡςΤΑ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΑΙΧΕΙΑ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΟΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΜΕΝΕΙ ΤΟ Χ^2 +1 ΔΙΝΕΙ ΛΥΣΗ 4/3 [ΤΙ ΕΧΕΤΕ ΝΑ ΠΕΙΤΕ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ? ΜΗΠΩΣ ΤΟ ΕΡςΤΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΑΛΑΤΟΜΑΤΙΚΟ ΜΗΠΩΣ ΤΕΛΙΚΑ ΘΑ ΞΑΝΑ ΧΑΡΙΣΤΟΥΝ

[fyskoz68]

Η υπο ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η xln(x^2+1) η οποία παίρνει και αρνητικές και θετικές τιμές στο [-1,1].

 είναι και περιττή σε συμμετρικό διάστημα ... 

   Εγώ παραθέτω τη συγκεκριμένη συνάρτηση (από την οποία απουσιάζει ο παράγοντας x ) για να δείξω ότι το να θέτεις u=x^2+1 είναι λάθος. Η συνάρτηση που χρησιμοποίησα ως παράδειγμα είναι προφανώς άρτια, σωστά στο ζήτημα των εξετάσεων είναι περιττή και όντως βγαίνει 0 το ολοκλήρωμα, όμως στο παράδειγμά μου αποκλείεται να είναι 0.

  Επίσης 0 θα προκύψει και το αποτέλεσμα αν τη συνάρτηση 3x^2 την ολοκληρώσουμε στο διάστημα [-1,1] και θέσουμε u=x^2, προκύπτουν όρια από 1 έως 1, άρα 0. Όμως το σωστό αποτέλεσμα είναι 2. Κάθε εξήγηση από τους συναδέλφους μαθηματικούς είναι ευπρόσδεκτη.

[vikoulaki]

Που είναι το du=2χdx?

[Siobaras]

Ωραία παρατήρηση fyskoz68.

Όμως στα παραδείγματα που γράφεις, και επειδή du=2xdx, έχεις πρόβλημα να λύσεις ως προς x την u=x^2 <=> |x|=\/u,
για να βγει ένα ενιαίο ολοκλήρωμα από 1 εώς 1.

Θα πρέπει να το σπάσεις για xe[-1,0] με x=-\/u και στο [0,1] με x=\/u, οπότε βγαίνουν 2 ολοκληρώματα που δεν έχουν άθροισμα 0.

[Siobaras]

Αυτό που απαγορεύεται δια ροπάλου είναι να θέσεις  x = g(u), όταν η g δεν είναι "1-1".

[dmath]

Αυτό που απαγορεύεται δια ροπάλου είναι να θέσεις  x = g(u), όταν η g δεν είναι "1-1".

Oπότε σωστά και επεσήμανε ότι δε λύνεται με αντικατάστση το Γ4 (θ=χ^2+1)!

[fyskoz68]

Ωραία παρατήρηση fyskoz68.

Όμως στα παραδείγματα που γράφεις, και επειδή du=2xdx, έχεις πρόβλημα να λύσεις ως προς x την u=x^2 <=> |x|=\/u,
για να βγει ένα ενιαίο ολοκλήρωμα από 1 εώς 1.

Θα πρέπει να το σπάσεις για xe[-1,0] με x=-\/u και στο [0,1] με x=\/u, οπότε βγαίνουν 2 ολοκληρώματα που δεν έχουν άθροισμα 0.

  Σωστό, οπότε και στο u=x^2+1 πρέπει να σπάσει σε x=-\/u-1 και x=\/u-1.

[Siobaras]

Αυτό που απαγορεύεται δια ροπάλου είναι να θέσεις  x = g(u), όταν η g δεν είναι "1-1".

Oπότε σωστά και επεσήμανε ότι δε λύνεται με αντικατάστση το Γ4 (θ=χ^2+1)!

Γνώμη μου είναι ότι λύνεται και με αντικατάσταση.

Είναι διαφορετικό να θέσεις x = g(u) και u = g(x). Στην πρώτη περίπτωση δεν μπορείς καν να βρεις τα νέα όρια ολοκλήρωσης.
Στη 2η περίπτωση, κανονικά πρέπει να το σπάσεις σε διαστήματα στα οποία η g περιορισμένη να είναι 1-1, αλλά στο συγκεκριμένο παράδειγμα η τελική συνάρτηση που ολοκληρώνουμε έχει τον ίδιο τύπο όταν το x ανήκει στα διαστήματα [-1,0] και [0,1], άρα και να το σπάσεις σε δύο ολοκληρώματα, θα σου βγουν με αντίθετα όρια, άρα κάνει 0.