Πρόβλημα Α Γυμνασίου - σας φαίνεται δύσκολο;

[apri]

@Landau
Eγώ θα προσέθετα τη δική μας επιτροπή πανελλήνιων εξετάσεων και την Ένωση Φιλολόγων, που επί δυο συναπτά έτη αδυνατεί να δώσει σωστή απάντηση σε άσκηση πλάγιου λόγου στα λατινικά, μόνο και μόνο επειδή το σχολικό εγχειρίδιο δεν αναφέρεται λεπτομερώς στις μετατροπές του χρόνου του ρημάτων.

Και δεν φτάνει που δεν μπορούν να καταλάβουν ότι ούτε στα ελληνικά στέκει η απάντηση που δίνουν,
δεν φτάνει που δεν λαμβάνουν υπ' όψιν τους την παρέμβαση καθηγητή λατινικών που τους λέει ότι κάνουν λάθος, αλλά αποδεικνύεται ότι δεν μπορούν να καταλάβουν ούτε τι λένε τα ξένα συντακτικά στα οποία παραπέμπουν μόνοι τους, αφού αντί να τους επιβεβαιώνουν, όπως νομίζουν, τους διαψεύδουν πανηγυρικά μ' αυτά που αναφέρουν.

Και μετά λέμε για τα παιδάκια της Α' Γυμνασίου.


@fairplay
Δεν μπορώ να σου απαντήσω για το αν είναι αποδεκτό το πρόβλημα για παιδιά Α' Γυμνασίου, γιατί δεν είμαι μαθηματικός για να ξέρω το επίπεδο γνώσεων ενός μαθητή στην Α' Γυμνασίου.
Μπορείς να δοκιμάσεις, ωστόσο, να τους δώσεις το πρόβλημα ως άσκηση για το σπίτι, επισημαίνοντας ότι είναι απαιτητική άσκηση. Θα είναι μια καλή ευκαιρία να δεις στην πράξη αν δυσκολεύονται ή όχι με τέτοιες ασκήσεις.

Πρόσεξε όμως πολύ τη διατύπωση. Αν ζητήσεις το "τελικό ποσό κέρδους επί της τιμής αγοράς", δεν πιστεύω ότι θα μπερδευτεί κανείς.  Αν όμως ζητήσεις "το κέρδος του εμπόρου", αυτό μπορεί να παραπέμπει είτε σε ποσοστό (7%) είτε σε ποσό (2.100), ενώ ενδεχομένως κάποιοι να αναρωτηθούν αν θες το αρχικό ή το τελικό κέρδος.

[PDE ads]

[Siobaras]

Fair play ασφαλώς λάθη κάνουμε όλοι και ασφαλώς πρέπει να είμαστε υπέρ του εποικοδομητικού διαλόγου.
Κανένα πρόβλημα με αυτό, και αν σε ενόχλησε το ύφος στα μηνύματά μου ζητώ συγνώμη.

Αυτό που εννοώ είναι ότι δεν πρέπει να δοθεί σε παιδιά άσκηση όταν υπάρχουν διάφορες ερμηνείες με αποτέλεσμα τις διάφορες "σωστές" λύσεις. Επειδή μιλάμε για Μαθηματικά, η ακρίβεια είναι το σημαντικότερο, κατά τη γνώμη μου, που πρέπει να καλλιεργείται στα παιδιά. Έχεις δίκιο ότι πολλά παιδιά έχουν διάφορα γνωστικά προβλήματα στη σχετική ύλη και καλά κάνεις και επιμένεις, αλλά θεωρώ ότι μια ασαφής εκφώνηση θα δημιουργήσει πιο πολλά προβλήματα από αυτά που θα λύσει.

[Gauss]

(3) ακόμα και με την αρχική διατύπωση, νομίζω ότι καμία λύση δεν ήταν λάθος. Όλοι όσοι ασχολήθηκαν έκαναν βάσιμους συλλογισμούς.

Παραθέτοντας το ανωτέρω απόσπασμα, αλλά και σε συνέχεια αυτών που λέει ακριβώς πριν ο συνάδελφος Siobaras, θα έλεγα -πάλι- ότι, σύμφωνα με το (γνωστό, να υποθέσω) διδακτικό συμβόλαιο, η απάντηση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι μοναδική.  Αν δεν είναι, και βρεθούμε με την apri σε κανένα σχολείο μαζί, θα μπερδευτούμε και θα διδάσκει εκείνη μαθηματικά κι εγώ λογοτεχνία (τι θέλει να πει ο ποιητής κτλ). 

[fair_play]

(3) ακόμα και με την αρχική διατύπωση, νομίζω ότι καμία λύση δεν ήταν λάθος. Όλοι όσοι ασχολήθηκαν έκαναν βάσιμους συλλογισμούς.

Παραθέτοντας το ανωτέρω απόσπασμα, αλλά και σε συνέχεια αυτών που λέει ακριβώς πριν ο συνάδελφος Siobaras, θα έλεγα -πάλι- ότι, σύμφωνα με το (γνωστό, να υποθέσω) διδακτικό συμβόλαιο, η απάντηση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι μοναδική.  Αν δεν είναι, και βρεθούμε με την apri σε κανένα σχολείο μαζί, θα μπερδευτούμε και θα διδάσκει εκείνη μαθηματικά κι εγώ λογοτεχνία (τι θέλει να πει ο ποιητής κτλ). 

Ούτως ή άλλως τα Μαθηματικά είναι ποίηση! 

[PDE ads]

[apri]

Παραθέτοντας το ανωτέρω απόσπασμα, αλλά και σε συνέχεια αυτών που λέει ακριβώς πριν ο συνάδελφος Siobaras, θα έλεγα -πάλι- ότι, σύμφωνα με το (γνωστό, να υποθέσω) διδακτικό συμβόλαιο, η απάντηση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι μοναδική.  Αν δεν είναι, και βρεθούμε με την apri σε κανένα σχολείο μαζί, θα μπερδευτούμε και θα διδάσκει εκείνη μαθηματικά κι εγώ λογοτεχνία (τι θέλει να πει ο ποιητής κτλ). 

Ούτως ή άλλως τα Μαθηματικά είναι ποίηση! 

Kαι για του λόγου του αληθές, σας έχω και μερικά αξιώματα του Ελύτη από το Μικρό Ναυτίλο:


"T' ανώτερα μαθηματικά μου τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Iδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:

(1) Εάν αποσυνθέσεις την Ελλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.

(2) Tο γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Ιησού Xριστού.

(3) H ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). H ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.

(4) Όπου υπάρχουν συκιές, υπάρχει Ελλάδα. Όπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του, υπάρχει ποιητής. H ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.

(5) Ένα δειλινό στο Αιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπη σε τόσο ίσες δόσεις, που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.

(6) Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.

(7) Ένας «αναχωρητής» για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας «Ερχόμενος»."

[fair_play]

Fair play ασφαλώς λάθη κάνουμε όλοι και ασφαλώς πρέπει να είμαστε υπέρ του εποικοδομητικού διαλόγου.
Κανένα πρόβλημα με αυτό, και αν σε ενόχλησε το ύφος στα μηνύματά μου ζητώ συγνώμη.

Αυτό που εννοώ είναι ότι δεν πρέπει να δοθεί σε παιδιά άσκηση όταν υπάρχουν διάφορες ερμηνείες με αποτέλεσμα τις διάφορες "σωστές" λύσεις. Επειδή μιλάμε για Μαθηματικά, η ακρίβεια είναι το σημαντικότερο, κατά τη γνώμη μου, που πρέπει να καλλιεργείται στα παιδιά. Έχεις δίκιο ότι πολλά παιδιά έχουν διάφορα γνωστικά προβλήματα στη σχετική ύλη και καλά κάνεις και επιμένεις, αλλά θεωρώ ότι μια ασαφής εκφώνηση θα δημιουργήσει πιο πολλά προβλήματα από αυτά που θα λύσει.

Δεν υπάρχει λόγος να ζητάς συγνώμη φίλε Siobaras. Σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες και συνέβαλες στην βελτιωμένη εκδοχή του προβλήματος.
Βέβαια η επίλυση προβλήματος δεν είναι ένα καθαρά μαθηματικό πεδίο. Κατά τη γνώμη μου, πρόκειται για εφαρμογή μαθηματικών (και όχι μόνο) γνώσεων σε ζητήματα κοινής λογικής.
Όπου στο κοινής περιλαμβάνω και τη διάσταση της ταύτισης του σκεπτικού προβληματοδότη και λύτη.

Δες λίγο το εξής: Οι Τράπεζες π.χ. διαφημίζουν τρίμηνη προθεσμιακή κατάθεση με επιτόκιο 5%.
Σκέφτομαι εγώ ο υποψήφιος καταθέτης "Δηλαδή θα βάλω 100€ και σε 3 μήνες θα πάρω τόκο 5€". Όχι κύριε σου λέει χαμογελώντας ο υπάλληλος: Γιατί εννοούμε ότι το 5% είναι ετήσιο επιτόκιο μείον το φόρο....

Από διδακτικής πλευράς τώρα νομίζω ότι η επίλυση προβλήματος βοηθά τον μαθητή στη διερεύνηση και την ερμηνεία των εκάστοτε δεδομένων, αλλά και στην ανάγκη για παροχή διευκρινίσεων, που είναι τόσο απαραίτητες στην καθημερινή ζωή. Και το κυριότερο, όταν οι διευκρινίσεις δεν μπορούν να δοθούν, στην απόκτηση της ικανότητας να κάνει τις βέλτιστες υποθέσεις εργασίας, ώστε να λαμβάνει τις ορθότερες αποφάσεις.

Και όλα τα παραπάνω (συλλογισμοί και πορεία λύσης) ασφαλώς βαθμολογούνται στη λύση ενός προβλήματος. Με κανένα τρόπο δεν τίθεται "Εγώ αυτό εννοούσα, άρα η λύση σου είναι λάθος".

Και κλείνοντας κάτι από τον μεγάλο εφευρέτη Τόμας Έντισον: "Δεν απέτυχα, βρήκα 10.000 τρόπους που δεν δουλεύουν".

[fair_play]

Παραθέτοντας το ανωτέρω απόσπασμα, αλλά και σε συνέχεια αυτών που λέει ακριβώς πριν ο συνάδελφος Siobaras, θα έλεγα -πάλι- ότι, σύμφωνα με το (γνωστό, να υποθέσω) διδακτικό συμβόλαιο, η απάντηση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι μοναδική.  Αν δεν είναι, και βρεθούμε με την apri σε κανένα σχολείο μαζί, θα μπερδευτούμε και θα διδάσκει εκείνη μαθηματικά κι εγώ λογοτεχνία (τι θέλει να πει ο ποιητής κτλ). 

Ούτως ή άλλως τα Μαθηματικά είναι ποίηση! 

Kαι για του λόγου του αληθές, σας έχω και μερικά αξιώματα του Ελύτη από το Μικρό Ναυτίλο:


"T' ανώτερα μαθηματικά μου τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Iδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:

(1) Εάν αποσυνθέσεις την Ελλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.

(2) Tο γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Ιησού Xριστού.

(3) H ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). H ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.

(4) Όπου υπάρχουν συκιές, υπάρχει Ελλάδα. Όπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του, υπάρχει ποιητής. H ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.

(5) Ένα δειλινό στο Αιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπη σε τόσο ίσες δόσεις, που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.

(6) Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.

(7) Ένας «αναχωρητής» για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας «Ερχόμενος»."

apri, είναι υπέροχα!

[jak_13]

fair_play, η σύγκριση που κάνεις με τους τόκους δεν είναι εύστοχη διότι το επιτόκιο αναφέρεται πάντα σε ετήσια βάση.
Κατά τη γνώμη μου, όσο πιο ξεκάθαρη και κατανοητή είναι η διατύπωση ενός προβλήματος, τόσο πιο απλή και δίκαιη γίνεται και η διόρθωση και η βαθμολόγηση του. Διότι μετά θα πρέπει να ψάχνεις ποιος το κατάλαβε, ποιος το κατάλαβε λιγότερο, ποιος δεν το κατάλαβε καθόλου ή ποιος έκανε ότι δεν το κατάλαβε γιατί δεν ήξερε τη λύση.

[dimmag]

Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το πρόβλημα, η σωστή απάντηση είναι 35.310.
Το αυτοκίνητο το αγόρασε 32.100, θα το πουλούσε 1,1x32.100=35.310 και θα είχε 10% κέρδος.

Με το επιπλέον έξοδο, όμως, το κέρδος του (35.310-32.100-900=2.310) είναι το 7% του ποσού που ξόδεψε για να το πάρει και να το φτιάξει.

Εξηγώ τη λύση:
Ας πούμε ότι το αγόρασε x, οπότε η τιμή πώλησης είναι 1,1x (αφού υπολόγιζε ότι θα βγάλει 10%)
Τελικά όμως το αμάξι του κόστισε x+900 και κέρδισε 7%, οπότε η τιμή πώλησης είναι 1,07(x+900).

Επειδή η τιμή πώλησης δεν άλλαξε από το επιπλέον έξοδο (αλλά μειώθηκε το κέρδος του) αυτά τα δύο είναι ίσα.
Άρα:
1,07(x+900)=1,1x  <=> 0,03x=963 <=> x=32.100  (Τιμή αγοράς).

Τελική τιμή : 1,1x32.100 = 1,07(32.100+900) = 35.310

Και ΟΧΙ, δεν πρέπει να το βάλετε σε α' γυμνασίου, εκτός κι αν σκοπεύετε να το διορθώσετε λάθος!

Μερικές παρατηρήσεις
Το 10% και το 7% νομίζω ότι πρέπει να αναφέρεται στο ίδιο ποσό γιατί ανόμοια πράγματα δεν συγκρίνονται.
Το (μικτό) κέρδος υπολογίζεται πάντα στην τιμή αγοράς και μετά αφαιρούνται τυχόν έξοδα πωλήσεων, δεν προσθέτουμε δηλαδή στη τιμή αγοράς μεταφορικά, επισκευές, διαφήμηση, κλπ
Οι επισκευές είναι κόστος πωλήσεων (πρέπει να το σουλουπώσεις για να το πουλήσεις), θα μπορούσε να έχει πχ και 100 ευρώ έξοδα παράδοσης στον πελάτη. Τα 100 αυτά ευρώ έπρεπε να πάνε στο κόστος απόκτησης?
Δηλαδή το 10% είναι το μικτό κέρδος και το 7% το καθαρό.
Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η πολιτική του εμπόρου είναι να πουλάει με (μικτό) κέρδος 10% επί της τιμής αγοράς (σταθερό ποσοστό) ενώ το καθαρό κέρδος μεταβάλλεται ανάλογα με τα έξοδα.
Αν αναφερόταν όμως όροι μικτό και καθαρό κέρδος θα έπρεπε να γίνει και το αντίστοιχο μάθημα....
αρκούσε μια διευκρίνηση ότι τα ποσοστά υπολογίζονται στην τιμή αγοράς.
Τέτοια προβλήματα η γενιά μου τα έκανε στο Δημοτικό.
Τα παιδιά δεν μαθαίνουν να σκέφτονται με ασκήσεις (πράξεων) αλλά με προβλήματα άρα δεν είναι κακό να χρησιμοποιούν κομπιουτεράκι (για πράξεις) στα προβλήματα κάτι που κάνουμε όλοι στην καθημερινή μας ζωή.
Πρέπει να προσέχουμε την διατύπωση των προβλημάτων ώστε να μην δημιουργούνται παρερμηνείες.
πχ Η διατύπωση θα μπορούε να ήταν η εξής:
"Ένας έμπορος αγόρασε ένα αυτοκίνητο και το πούλησε με κέρδος 10% (επί της τιμής αγοράς). Όμως χρειάστηκε να το επισκευάσει και ξόδεψε 900 €. Έτσι το καθαρό κέρδος του περιορίστηκε στο 7% (επί της τιμής αγοράς). Ποιά ήταν η τιμή αγοράς του αυτοκινήτου και ποιά η τελική τιμή πώλησης; "
ή
"Ένας έμπορος πουλάει αυτοκίνητα με κέρδος 10% (επί της τιμής αγοράς). Για ένα  αυτοκίνητο όμως χρειάστηκε να κάνει επισκευές και ξόδεψε 900 €, έτσι το καθαρό κέρδος του περιορίστηκε στο 7% (επί της τιμής αγοράς). Ποιά ήταν η τιμή αγοράς του αυτοκινήτου και ποιά η τελική τιμή πώλησης; "

[Siobaras]

Αν προσέξεις λίγο καλύτερα, θα δεις ότι δεν συγκρίνω ανόμοια πράγματα.
Και στις δύο μορφές υπολογίζω το ποσοστό κέρδους σε σχέση με το κόστος (το συνολικό κόστος). Απλώς, όταν δεν θέλει επισκευή, το συνολικό κόστος ταυτίζεται με την τιμή αγοράς.

Και στο εμπόριο, αν και δεν έχω άμεση σχέση, νομίζω ότι στον υπολογισμό του περιθωρίου κέρδους λαμβάνονται υπόψιν όλα τα κόστη που σχετίζονται με το συγκεκριμένο προϊόν.

Να σου δώσω ένα παράδειγμα από μια κουβέντα που είχα πρόσφατα με έμπορο πλακιδίων.
Τα πλακάκια που πωλούνται 10EUR/m^2 έχουν τιμή αγοράς για τον έμπορο 1EUR/m^2.
Αυτός ο έμπορος δουλεύει με 900% κέρδος;;;

Όχι, γιατί 3EUR/m^2 είναι τα μεταφορικά από Ιταλία και κανά δίφραγκο είναι οι φόροι, ανεβάζοντας στο κόστος αγοράς στα 6 (ας πούμε). Τώρα τα 10-6=4 δεν είναι καθαρό κέρδος, γιατί πρέπει να επιμερίσεις μισθούς υπαλλήλων, ενοίκιο, ρεύμα, κλπ, αλλά αυτά τα έξοδα δεν είναι άμεσα συσχετισμένα με το προϊόν.

Εγώ καταλαβαίνω ότι το περιθώριο κέρδους από την πώληση είναι τα 4, δηλαδή 66%.

Και για να το κάνω πιο σαφές, σχετικά με το παράδειγμά μας. Ας πούμε ότι ο έμπορος αγοράζει ένα στουκαρισμένο αμάξι με 500 και δίνει άλλα 4.500 για να το φτιάξει. Αν δουλεύει με 10%, πόσο θα το δώσει; 5.050? Εγώ λέω 5.500.

[jak_13]

Επειδή το πρόβλημα με τη συζήτηση, από μαθηματικό πάει να γίνει λογιστικό να αναφέρω απλώς ότι στη λογιστική, για να αποφεύγονται τέτοιες συγχύσεις, υπάρχει διαχωρισμός του καθαρού κέρδους από το μικτό κέρδος.

[Siobaras]

Λογιστικά, αν δεν κάνω λάθος, ΟΛΑ τα κόστη επιμερίζονται σε έξοδα διοίκησης και κόστη πωληθέντων. Τα 900 πάνε λογικά στη 2η κατηγορία.

Αλλά δεν παίζει ρόλο η λογιστική. Η λογική σας τι σας λέει για τα παραδείγματα που έδωσα πριν;

[jak_13]

Για να προκύψει το καθαρό κέρδος πρέπει να αφαιρεθεί από το μικτό κέρδος, το κόστος πωληθέντων, οι λειτουργικές δαπάνες, οι τόκοι, οι αποσβέσεις και η φορολογία.
Όσο λογικά και να είναι τα παραδείγματα δεν μπορούμε να απαιτήσουμε λύση από τους μαθητές της Α΄γυμνασίου για κάτι που δεν έχουν διδαχθεί, γιατί επιμένω ότι το πρόβλημα έχει αναχθεί σε λογιστικό.

[apri]

Eγώ πάλι, επειδή με ζαλίσατε με τους συλλογισμούς σας, λέω να πιάσουμε τον ίδιο τον έμπορο να μας τα πει όλα με το νι και με το σίγμα. Πιο εύκολα θα βγάλουμε άκρη έτσι.